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2015年自考题目线性代数(经管类)-复习训练

2015年07月11日 00:36 湖南自考网何老师我要评论(1)
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线性代数(经管类)-复习训练

1.单选题

1.1 1.25
设$3$元非齐次线性方程组$Ax=b$的两个解为$alpha =(1,0,2)^T$,$beta=(1,-1,3)^T$,且系数矩阵$A$的秩$r(A)=2$,则对于任意常数$k,k_1,k_2$,方程组的通解可表为()
您答对了
  • a
    $k_1(1
  • b
    0
  • c
    2)^T+k_2(1
  • d
    -1
因为$alpha-beta=(1,0,2)^T-(1,-1,3)^T=(0,1,-1)^T$,所以$(0,1,-1)^T$是对应齐次线性方程组$Ax=0$的解,故原非齐次线性方程组$Ax=b$的通解为$(1,0,2)^T+k(0,1,-1)^T$.
1.2 1.25
设矩阵$A=((a_11,a_12),(a_21,a_22)),B=((a_21+a_11,a_22+a_12),(a_11,a_12)),P_1=((0,1),(1,0)),P_2=((1,0),(1,1))$,则必有()
您答对了
  • a
    $P_1P_2A=B$
  • b
    $P_2P_1A=B$
  • c
    $AP_1P_2=B$
  • d
    $AP_2P_1=B$
考点:矩阵的行列变换,左乘行变,右乘列变。
1.3 1.25
设$A$为$m×n$矩阵,则$n$元齐次线性方程$Ax=0$存在非零解的充要条件是()
您答对了
  • a
    $A$的行向量组线性相关
  • b
    $A$的列向量组线性相关
  • c
    $A$的行向量组线性无关
  • d
    $A$的列向量组线性无关
齐次方程组$Ax=0$有非零解的充要条件是系数矩阵的秩$ < n$即$A$的列向量组线性相关。
1.4 1.25
设$k$是数,$alpha$是向量,$kalpha=0$,则必有结论()
您答对了
  • a
    $alpha=0$
  • b
    $k=0$
  • c
    $k=0$且$alpha=0$
  • d
    $k=0$或$alpha=0$至少有一个成立
$kalpha=0$推出$k=0$或$alpha=0$至少有一个成立。
1.5 1.25
设向量组$alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$线性相关,则必可推()
您答对了
  • a
    $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中至少有一个向量为零向量
  • b
    $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中至少有两个向量成比例
  • c
    $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
  • d
    $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
线性相关定理:$m$个$n$维向量$alpha_1,alpha_2,…,alpha_m(m>=2)$线性相关$hArr$至少存在某个$alpha_i$是其余向量的线性组合。也即$alpha_1,alpha_2,…,alpha_m(m>=2)$线性无关$hArr$任意一个$alpha_i$都不能表示为其余向量的线性组合。
1.6 1.25
$A$是$m×n$矩阵$(m!=n)$,使齐次线性方程组$Ax=0$只有零解的充分必要条件是()
您答对了
  • a
    $m > n$
  • b
    $m < n$
  • c
    $A$的$n$个列向量线性无关
  • d
    $A$的$m$个行向量线性无关
齐次线性方程组$Ax=0$只有零解$<=>r(A)=n<=>A$的$n$个列向量线性无关。
1.7 1.25
设向量$alpha_1=(a_1,b_1,c_1),alpha_2=(a_2,b_2,c_2),beta_1=(a_1,b_1,c_1,d_1),beta_2=(a_2,b_2,c_2,d_2)$,下列命题中正确的是()
您答对了
  • a
    若$alpha_1,alpha_2$线性相关,则必有$beta_1,beta_2$线性相关
  • b
    若$alpha_1,alpha_2$线性无关,则必有$beta_1,beta_2$线性无关
  • c
    若$beta_1,beta_2$线性相关,则必有$alpha_1,alpha_2$线性无关
  • d
    若$beta_1,beta_2$线性无关,则必有$alpha_1,alpha_2$线性相关
无关组的接长向量组必为无关组。
1.8 1.25
$n$维向量组$alpha_1=(1,1,…,1),alpha_2=(2,2,…,2),…,alpha_m=(m,m,…,m)$的秩为()
您答对了
  • a
    $0$
  • b
    $m$
  • c
    $2$
  • d
    $1$
$((1,2,…,m),(1,2,…,m),(dot:,dot:,…,dot: ),(1,2,…,m))->((1,2,…,m),(0,0,…,0),(dot:,dot:,…,dot: ),(0,0,…,0))$
1.9 1.25
二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2$的矩阵$A=$()
您答对了
  • a
    $((1,1,0),(1,2,1),(0,1,1))$
  • b
    $((-1,-1,0),(-1,2,-1),(0,-1,-1))$
  • c
    $((1,-1,0),(-1,2,-1),(0,-1,1))$
  • d
    $((1,-1,0),(0,2,0),(0,-1,1))$
$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2=x_1^2-2x_1x_2+2x_2^2-2x_2x_3+x_3^2$
1.10 1.25
设$A=((1,2),(3,4))$,则$|A^(**)|=$()
您答对了
  • a
    $-4$
  • b
    $-2$
  • c
    $2$
  • d
    $4$
若$A$是$n$阶方阵,则$|A^(**)|=|A|^(n-1)$ 解1:$|A^(**)|=|(4,-2),(-3,1)|=-2$ 解2:$|A^(**)|=|A|^(2-1)=|A|=-2$
1.11 1.25
若$alpha_1=(1,0,1),alpha_2=(1,-1,1),alpha_3=(1,t,0)$线性无关,则必有()
您答对了
  • a
    $t=1$
  • b
    $t!=1$
  • c
    $t!=0$
  • d
    $t为任意实数$
因为$alpha_(1)=(1,0,1),alpha_(2)=(1,-1,1),alpha_(3)=(1,t,0)$线性无关 所以$|(1,1,1),(0,-1,t),(1,1,0)|!=0=>t$为任意实数。
1.12 1.25
$alpha_1=(1,0,0),alpha_2=(2,1,0),alpha_3=(0,3,0),alpha_4=(2,2,2)$的极大无关组是()
您答对了
  • a
    $alpha_1,alpha_2$
  • b
    $alpha_1,alpha_3$
  • c
    $alpha_1,alpha_2,alpha_3$
  • d
    $alpha_1,alpha_2,alpha_4$
$((1,2,0,2),(0,1,3,2),(0,0,0,2))->((1,2,0,0),(0,1,3,0),(0,0,0,1))->((1,0,-6,0),(0,1,3,0),(0,0,0,1))$,则$alpha_(1),alpha_(2),alpha_(4)$线性无关。
1.13 1.25
若$2$阶矩阵$A$相似于矩阵$B=((2,0),(2,-3))$,$E$为$2$阶单位矩阵,则与矩阵$E-A$相似的矩阵是()
您答对了
  • a
    $((1,0),(1,4))$
  • b
    $((-1,0),(1,-4))$
  • c
    $((-1,0),(-2,4))$
  • d
    $((-1,0),(-2,-4))$
$P^(-1)AP=((2,0),(2,-3)),P^(-1)(E-A)P=((-1,0),(-2,4))$
1.14 1.25
设$3$阶矩阵$A$与$B$相似,且已知$A$的特征值为$2,2,3$,则$|B^(-1)|=$()
您答对了
  • a
    $1/12$
  • b
    $1/7$
  • c
    $7$
  • d
    $12$
$A$与$B$相似,且$A$的特征值为$2,2,3$,所以$B$的特征值为$2,2,3$。$B^(-1)$的特征值为$1/2,1/2,1/3$,所以$|B^(-1)|=1/2*1/2*1/3=1/12$.
1.15 1.25
设$A$为$m×n$矩阵,齐次线性方程组$Ax=0$有非零解的充分必要条件是()
您答对了
  • a
    $A$的列向量组线性相关
  • b
    $A$的列向量组线性无关
  • c
    $A$的行向量组线性相关
  • d
    $A$的行向量组线性无关
齐次线性方程组$Ax=0$有非零解的充分必要条件是系数矩阵$A$的秩小于$n$,而$A$的秩小于$n$的充分必要条件是$A$的列向量组线性相关,故选A。
1.16 1.25
设矩阵$A=(1,2),B=((1,2),(3,4)),C=((1,2,3),(4,5,6))$,则下列矩阵运算中有意义的是()
您答对了
  • a
    $ACB$
  • b
    $ABC$
  • c
    $BAC$
  • d
    $CBA$
根据矩阵乘法定义运算有意义必须前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数,因为$A$为$1xx2$矩阵,$B$为$2xx2$矩阵,$C$为$2xx3$矩阵,所以$ABC$有意义。
1.17 1.25
设$AX=b$为非齐次线性方程组,$eta_1,eta_2$是它的任意两个解,则下列错误的是()
您答对了
  • a
    $eta_1+eta_2$是$AX=b$的一个解
  • b
    $eta_1-eta_2$是$AX=0$的一个解
  • c
    $1/2(eta_1+eta_2)$是$AX=b$的一个解
  • d
    $2eta_1-eta_2$是$AX=b$的一个解
用方程解的定义验证,只有A错误。
1.18 1.25
在一组秩等于$n$的$n$维向量组中,加入一个$n$维向量后,该组的秩()
您答对了
  • a
    等于$n+1$
  • b
    等于$n-1$
  • c
    等于$n$
  • d
    无法确定
在一组秩等于$n$的$n$维向量组中,加入一个$n$维向量后,没有改变秩。
1.19 1.25
设$alpha=(1,2,4),beta=(0,1,3)$,$k$为任意实数,则()
您答对了
  • a
    $alpha-beta$线性相关
  • b
    $alpha-beta$线性无关
  • c
    $alpha+beta$线性相关
  • d
    $kalpha$线性无关
因为$alpha-beta!=0$,所以$alpha-beta$线性无关。
1.20 1.25
已知矩阵$A=((1,1),(0,-1)),B=((1,0),(1,1))$,则$AB-BA=$()
您答对了
  • a
    $((1,0),(-2,-1))$
  • b
    $((1,1),(0,-1))$
  • c
    $((1,0),(0,1))$
  • d
    $((0,0),(0,0))$
$AB-BA=((1,1),(0,-1))((1,0),(1,1))-((1,0),(1,1))((1,1),(0,-1))=((2,1),(-1,-1))-((1,1),(1,0))=((1,0),(-2,-1))$
1.21 1.25
设$3$阶行列式$D_3$的第2列元素分别为$1,-2,3$,对应的代数余子式分别为$-3,2,1$,则$D_3=$()
您答对了
  • a
    $-2$
  • b
    $-1$
  • c
    $1$
  • d
    $-4$
考点:行列式的展开。$1xx(-3)+(-2)xx2+3xx1=-4$
1.22 1.25
若$alpha$,$beta$线性无关,$k$为任意实数,则()
您答对了
  • a
    $alpha+beta$线性无关
  • b
    $alpha-beta$线性相关
  • c
    $kalpha$线性无关
  • d
    $kalpha$线性相关
$alpha$,$beta$线性无关则$alpha+beta!=0$,所以$alpha+beta$线性无关。
1.23 1.25
向量组$alpha_1,alpha_2,…,alpha_s(s>2)$线性无关的充分必要条件是()
您答对了
  • a
    $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$均不为零向量
  • b
    $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中任意两个向量不成比例
  • c
    $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中任意$s-1$个向量线性无关
  • d
    $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中任意一个向量均不能由其余$s-1$个向量线性表示
因为向量组线性相关的充分必要条件是其中存在一个向量能由其余向量线性表示。故答案为D。
1.24 1.25
设$A$是$5×6$矩阵,且秩$(A)=4$,则齐次线性方程组$AX=0$的基础解系中解向量个数为()
您答对了
  • a
    $1$
  • b
    $2$
  • c
    $3$
  • d
    $4$
由$A$为$5×6$矩阵,所以$AX=0$为$6$元方程组,再由秩$(A)=4$,则方程组基础解系中解向量个数为$6-4=2$。故选B。
1.25 1.25
设矩阵$A,B,C$为同阶方阵,则$(ABC)^T=$()
您答对了
  • a
    $A^TB^TC^T$
  • b
    $C^TB^TA^T$
  • c
    $C^TA^TB^T$
  • d
    $A^TC^TB^T$
$(ABC)^T= C^TB^TA^T$,积的转置等于转置的逆序积。
1.26 1.25
$alpha_1,…,alpha_5$是$5$个三维向量,则()
您答对了
  • a
    $alpha_1,…,alpha_5$中至少有三个向量能由其余向量线性表出
  • b
    $alpha_1,…,alpha_5$中每个向量都能由其余向量线性表出
  • c
    $alpha_1,…,alpha_5$的秩$=3$
  • d
    $alpha_1,…,alpha_5$的秩$ <= 3$
向量组的秩不超过其个数和维数的最小值。
1.27 1.25
$n$阶矩阵$A$可逆的充要条件是()
您答对了
  • a
    $A$的每个行向量都是非零向量
  • b
    $A$的每个列向量都是非零向量
  • c
    非齐次线性方程组$AX=b$有解
  • d
    齐次线性方程组$AX=0$只有零解
齐次线性方程组$AX=0$只有零解$<=>A$满秩$<=>A$可逆。
1.28 1.25
设$A$为$4xx3$矩阵,$xi$是齐次线性方程组$AX=0$的基础解系,则$r(A)=$()
您答对了
  • a
    $1$
  • b
    $2$
  • c
    $3$
  • d
    $4$
$r(A)=n-基础解系所含向量个数=3-1=2$.
1.29 1.25
已知$A$有一个特征值$-2$,则$B=A^2+2E$必有一个特征值()
您答对了
  • a
    $-2$
  • b
    $2$
  • c
    $4$
  • d
    $6$
因为$A$有一个特征值$-2$,则$B=A^2+2E$必有一个特征值为$(-2)^2+2=6$.
1.30 1.25
设$3$阶矩阵$A=((1,0,0),(2,2,0),(3,3,3))$,则$A^(**) A=$()
您答对了
  • a
    $((1,0,0),(0,2,0),(0,0,3))$
  • b
    $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
  • c
    $((6,0,0),(0,6,0),(0,0,6))$
  • d
    $((1,0,0),(2,2,0),(3,3,3))$
$A A^(**)=|A|E$
1.31 1.25
设$A$为$n(n>=2)$阶矩阵,且$A^2=E$,则必有()
您答对了
  • a
    $A$的行列式等于$1$
  • b
    $A$的逆矩阵等于$E$
  • c
    $A$的秩等于$n$
  • d
    $A$的特征值均为$1$
因为$A^2=E$,故$A$可逆,所以$A$的秩等于$n$。
1.32 1.25
设$3$阶方阵$A$的特征值为$1,-1,2$,则下列矩阵中为可逆矩阵的是()
您答对了
  • a
    $E-A$
  • b
    $-E-A$
  • c
    $2E-A$
  • d
    $-2E-A$
因为$lambda=-2$不是$A$的特征值,故$-2E-A$可逆。
1.33 1.25
设$A,B$为$n$阶方阵,满足$A^2=B^2$,则必有()
您答对了
  • a
    $A=B$
  • b
    $A=-B$
  • c
    $|A|=|B|$
  • d
    $|A|^2=|B|^2$
方阵行列式的性质,特别是$|AB|=|A||B|$ 解1:因为$A^2=B^2$,故$|A^2|=|B^2|$,而因为$|AB|=|A||B|$,故$|A^2|=|A|^2,|B^2|=|B|^2$,所以$|A|^2=|B|^2$ 解2:取$A=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)),B=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1))$,显然$A^2=B^2=E$,但选项A,B,C都不对,应用排除法知正确答案为D。
1.34 1.25
设$n$阶可逆矩阵$A、B、C$满足$ABC=E$,则$B^(-1)=$()
您答对了
  • a
    $A^(-1)C^(-1)$
  • b
    $C^(-1)A^(-1)$
  • c
    $AC$
  • d
    $CA$
考点:矩阵的运算,注意矩阵乘法不满足交换律。
1.35 1.25
设$alpha_1,alpha_2,alpha_3,beta$均为$n$维向量,又$alpha_1,alpha_2,beta$线性相关,$alpha_2,alpha_3,beta$线性无关,则下列正确的是()
您答对了
  • a
    $alpha_1,alpha_2,alpha_3$线性相关
  • b
    $alpha_1,alpha_2,alpha_3$线性无关
  • c
    $alpha_1$可由$alpha_2,alpha_3,beta$线性表示
  • d
    $beta$可由$alpha_1,alpha_2$线性表示
由$alpha_2,alpha_3,beta$线性无关,故$alpha_2,beta$也线性无关。 但有$alpha_1,alpha_2,beta$线性相关,所以$alpha_1$可由$alpha_2,beta$线性表示,也就有$alpha_1$可由$alpha_2,alpha_3,beta$线性表示。
1.36 1.25
设$lambda=2$是可逆矩阵$A$的一个特征值,则矩阵$(A^2)^(-1)$必有一个特征值等于()
您答对了
  • a
    $1/4$
  • b
    $1/2$
  • c
    $2$
  • d
    $4$
因为$lambda=2$是可逆矩阵$A$的一个特征值,故$4$为$A^2$的一个特征值,从而$1/4$为$(A^2)^(-1)$的一个特征值。
1.37 1.25
设$3$阶方阵$A$的秩为$2$,则与$A$等阶的矩阵为()
您答对了
  • a
    $((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$
  • b
    $((1,1,1),(0,1,1),(0,0,0))$
  • c
    $((1,1,1),(2,2,2),(0,0,0))$
  • d
    $((1,1,1),(2,2,2),(3,3,3))$
测试点:矩阵等价的概念;等价矩阵有相等的秩;反之同型的两个矩阵只要其秩相等,必等价。因为$A,C,D$的矩阵的秩都为$1$,$B$的矩阵的秩等于$2$。故答案应为B。
1.38 1.25
下列命题中成立的是()
您答对了
  • a
    若$alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$线性无关,则$alpha_1,alpha_2,…,alpha_s,…,alpha_m$必线性无关
  • b
    若$alpha_1,alpha_2,…,alpha_m$线性相关,则必包含零向量
  • c
    若$alpha_1,alpha_2$线性相关,则$alpha_1+alpha_2,alpha_1-alpha_2$也线性相关
  • d
    若$alpha_1,alpha_2,…,alpha_m$线性相关,则其中任意两个向量线性相关
$(alpha_(1)+alpha_(2),alpha_(1)-alpha_(2))->(2alpha_(1),alpha_(1)-alpha_(2))->(alpha_(1),alpha_(1)-alpha_(2))->(alpha_(1),-alpha_(2))->(alpha_(1),alpha_(2))$ 所以$(alpha_(1)+alpha_(2),alpha_(1)-alpha_(2))$与$(alpha_(1),alpha_(2))$等价,线性相关性相同。
1.39 1.25
设$2$阶实对称矩阵$A$的特征值为$1,2$,它们对应的特征向量分别为$alpha_1=(1,1)^T,alpha_2=(1,k)^T$,则数$k=$()
您答对了
  • a
    $-1$
  • b
    $0$
  • c
    $1$
  • d
    $2$
实对称矩阵属于不同特征值的特征向量之间是相互正交的。 $1xx1+1xxk=0$,解得$k=-1$
1.40 1.25
$m>n$是$n$维向量组$alpha_1,alpha_2,…,alpha_m$线性相关的()
您答对了
  • a
    充分条件
  • b
    必要条件
  • c
    充要条件
  • d
    必要而不充分条件
向量个数大于向量维数的向量组是线性相关的。
1.41 1.25
设$A$为四阶矩阵,且$|A|=2$,则$|A^**|=$()
您答对了
  • a
    $2$
  • b
    $4$
  • c
    $8$
  • d
    $12$
测试点:方阵$A$的伴随阵的概念和性质。$A^**=((A_11,A_21,...,A_(n1)),(A_12,A_22,...,A_(n2)),(.,.,.,.),(.,.," ".,.),(.,.," "" ".,.),(A_(1n),A_(2n),...,A_(n n)))$ 性质:$A A^(**)=A^(**)A=|A|E$;若$A$可逆,则$A^(-1)=1/(|A|)A^**$。
1.42 1.25
与矩阵$A=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$相似的是()
您答对了
  • a
    $((1,0,0),(0,2,0),(0,0,1))$
  • b
    $((1,1,0),(0,1,0),(0,0,2))$
  • c
    $((1,0,0),(1,1,0),(0,0,2))$
  • d
    $((1,0,1),(0,2,0),(0,0,1))$
因为当方阵能与对角阵相似时,其相似标准只与主对角线上元素有关,而与其顺序无关,故应选A。
1.43 1.25
线性方程组$Ax=b$中,$A$是$4xx6$矩阵,且$A$与增广矩阵$barA$的秩都等于$4$,则()
您答对了
  • a
    方程组有唯一解
  • b
    方程组有无穷多解
  • c
    方程组无解
  • d
    无法确定
因为$A$与增广矩阵$barA$的秩都等于$4<6$,所以方程组有无穷多解。
1.44 1.25
已知$beta_1,beta_2$是非齐次线性方程组$Ax=b$的两个不同的解,$alpha_1,alpha_2$是其导出组$Ax=0$的一个基础解系,$C_1,C_2$为任意常数,则方程组$Ax=b$的通解可以表为()
您答对了
  • a
    $1/2(beta_1+beta_2)+C_1alpha_1+C_2(alpha_1+alpha_2)$
  • b
    $1/2(beta_1-beta_2)+C_1alpha_1+C_2(alpha_1+alpha_2)$
  • c
    $1/2(beta_1+beta_2)+C_1alpha_1+C_2(beta_1-beta_2)$
  • d
    $1/2(beta_1-beta_2)+C_1alpha_1+C_2(beta_1+beta_2)$
根据$beta_1,beta_2$是非齐次线性方程组$Ax=b$的两个不同的解,我们知道, $Abeta_1=b,Abeta_2=b,A(beta_1-beta_2)=0;A(1/2(beta_1+beta_2))=b$ 所以$beta_1-beta_2$是$Ax=0$的解;$1/2(beta_1+beta_2)$是$Ax=b$的解。
1.45 1.25
如果方程组${(3x_1+kx_2-x_3=0),(4x_2-x_3=0),(4x_2+kx_3=0):}$有非零解,则$k=$()
您答对了
  • a
    $-2$
  • b
    $-1$
  • c
    $1$
  • d
    $2$
解:$|A|=|(3,k,-1),(0,4,-1),(0,4,k)|=0$ 即$12(k+1)=0$,所以$k=-1$
1.46 1.25
设$A$为$n$阶方阵,$n>=2$,则$|-5A|=$()
您答对了
  • a
    $(-5)^n|A|$
  • b
    $-5|A|$
  • c
    $5|A|$
  • d
    $5^n|A|$
测试点:矩阵运算的定义。行列式的性质,特别是$|lambdaA|=lambda^n|A|$ $|-5A|=(-5)^n|A|$,故答案为A。
1.47 1.25
设行列式$|(a_1,b_1),(a_2,b_2)|=1$,$|(a_1,c_1),(a_2,c_2)|=2$,则$|(a_1,b_1+c_1),(a_2,b_2+c_2)|=$()
您答对了
  • a
    $-3$
  • b
    $-1$
  • c
    $1$
  • d
    $3$
行列式的性质:将行列式的某行(或某列)元素拆成两数的代数和,再将行列式按此行拆成两个行列式之和,其值不变。$|(a_1,b_1+c_1),(a_2,b_2+c_2)|=|(a_1,b_1),(a_2,b_2)|+|(a_1,c_1),(a_2,c_2)|=1+2=3$
1.48 1.25
设行列式$D=|(a_11,a_12,a_13),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|=3,D_1=|(a_11,5a_11+2a_12,a_13),(a_21,5a_21+2a_22,a_23),(a_31,5a_31+2a_32,a_33)|,$则$D_1$的值为()
您答对了
  • a
    $-15$
  • b
    $-6$
  • c
    $6$
  • d
    $15$
行列式的性质和计算。$D_1=|(a_11,5a_11+2a_12,a_13),(a_21,5a_21+2a_22,a_23),(a_31,5a_31+2a_32,a_33)|stackrel(=)((2)+(-5)(1))|(a_11,2a_12,a_13),(a_21,2a_22,a_23),(a_31,2a_32,a_33)|=2|(a_11,a_12,a_13),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|=6$
1.49 1.25
$A=(alpha_1,alpha_2,alpha_3)$为三阶方阵,已知齐次线性方程组$AX=0$有非零解,则()
您答对了
  • a
    $alpha_1,alpha_2,alpha_3$线性无关
  • b
    $alpha_1$可由$alpha_2,alpha_3$线性表出
  • c
    $alpha_1,alpha_2,alpha_3$中含有零向量
  • d
    $alpha_1,alpha_2,alpha_3$线性相关
齐次线性方程组$AX=0$有非零解$<=>r(A) < n <=> alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)$线性相关。
1.50 1.25
$A$为$mxxn$矩阵,且$m < n$,$AX=0$是$AX=b$的导出组,则下述结论正确的是()
您答对了
  • a
    $AX=b$必有无穷多解
  • b
    $AX=0$必有无穷多解
  • c
    $AX=0$只有零解
  • d
    $AX=b$必无解
$A$为$mxxn$矩阵,且$m < n$,则$r(A) <= m < n$,$AX=0$必有无穷多解。
1.51 1.25
设有$4$维向量组$alpha_1,…,alpha_6$,则()
您答对了
  • a
    $alpha_1,…,alpha_6$中至少有两个向量能由其余向量线性表出
  • b
    $alpha_1,…,alpha_6$线性无关
  • c
    $alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$必线性无关
  • d
    $alpha_1,alpha_6$的秩为$2$
因为秩$(4$维向量组$alpha_(1),…,alpha_(6))<=4$,所以$alpha_(1),…,alpha_(6)$至少有两个向量能由其余向量线性表出。
1.52 1.25
设$A$与$B$是两个相似$n$阶矩阵,则下列说法错误的是()
您答对了
  • a
    $|A|=|B|$
  • b
    $秩(A)=秩(B)$
  • c
    存在可逆阵$P$,使$P^(-1)AP=B$
  • d
    $lambdaE-A=lambdaE-B$
C是相似矩阵的定义,A,B是其性质,只有D错误。
1.53 1.25
设$A$为$3$阶矩阵,且已知$|3A+2E|=0$,则$A$必有一个特征值为()
您答对了
  • a
    $-3/2$
  • b
    $-2/3$
  • c
    $2/3$
  • d
    $3/2$
一个矩阵的特征方程为$|lambdaE-A|=0$,解出$lambda$就得到$A$的特征值。 将$|3A+2E|=0$,变形得到$|-2/3E-A|=0$.
1.54 1.25
设$A$为$5$阶方阵,若$秩(A)=3$,则齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系中包含的解向量的个数是()
您答对了
  • a
    $2$
  • b
    $3$
  • c
    $4$
  • d
    $5$
齐次线性方程组的基础解系中包含的解向量的个数$=n-秩(A)$.
1.55 1.25
设矩阵$((a+b,4),(0,d))=((2,a-b),(c,3))$,则()
您答对了
  • a
    $a=3,b=-1,c=1,d=3$
  • b
    $a=-1,b=3,c=1,d=3$
  • c
    $a=3,b=-1,c=0,d=3$
  • d
    $a=-1,b=3,c=0,d=3$
测试点:两个矩阵相等的概念。$((a+b,4),(0,d))=((2,a-b),(c,3))hArr{(a+b=2),(a-b=4),(c=0),(d=3):}hArr{(a=3),(b=-1),(c=0),(d=3):}$
1.56 1.25
设$3$阶实对称矩阵$A$的特征值为$lambda_(1)=lambda_(2)=3,lambda_(3)=0$,则$r(A)=$()
您答对了
  • a
    $0$
  • b
    $1$
  • c
    $2$
  • d
    $3$
由题意知$A$与对角阵$((3,0,0),(0,3,0),(0,0,0))$相似,故$r(A)=2$。
1.57 1.25
设$A$为$mxxn$矩阵,若齐次线性方程组$AX=0$只有零解,则对任意$m$维非零列向量$b$,非齐次线性方程组$AX=b$()
您答对了
  • a
    必有唯一解
  • b
    必无解
  • c
    必有无穷多解
  • d
    可能有解,也可能无解
由$AX=0$只有零解,可知,$秩(A)=n$ 但由于$b$的任意性,则$AX=b$可能有唯一解,也可能无解。故选D。
1.58 1.25
设$A$为三阶方阵且$|A|=-2$,则$|3A^TA|=$()
您答对了
  • a
    $-108$
  • b
    $-12$
  • c
    $12$
  • d
    $108$
测试点:方阵行列式的性质。$(1)|lambdaA|=lambda^n|A|;(2)|AB|=|A||B|;(3)|A^T|=|A|$。 解$|3A^TA|=3^3|A^T||A|=3^3(|A|)^2=108$
1.59 1.25
已知$3$阶矩阵$A$的3个特征值为$1,2,3$,则$|A^(**)|=$()
您答对了
  • a
    $63$
  • b
    $6$
  • c
    $36$
  • d
    $3$
因为$3$阶矩阵$A$的3个特征值为$1,2,3$,故$|A|=lambda_1lambda_2lambda_3=6$。 故$|A^(**)|=|A|^(3-1)=6^2=36$。
1.60 1.25
若行列式$|A|=0$,则$A$中()
您答对了
  • a
    必有一行全为$0$
  • b
    行向量组线性相关
  • c
    有两列成比例
  • d
    所有元素全为$0$
$|A|=0$的充要条件是行向量组线性相关,其他选项都是$|A|=0$的充分条件,而非必要条件。
1.61 1.25
二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3$的矩阵为()
您答对了
  • a
    $((1,2,4),(2,1,0),(4,0,1))$
  • b
    $((1,2,4),(0,1,0),(0,0,1))$
  • c
    $((1,1,2),(1,1,0),(2,0,1))$
  • d
    $((1,1,0),(1,1,2),(0,2,1))$
对角元依次$f$中的$x_1^2,x_2^2,x_3^2$项的前面系数$1,1,1$;把$f$中的$X_iX_j$的系数的一半,放在$(i,j)$和$(j,i)$位置上。
1.62 1.25
设$alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$是一个$4$维向量组,若已知$alpha_4$可以表为$alpha_1,alpha_2,alpha_3$的线性组合,且表示法惟一,则向量组$alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$的秩为()
您答对了
  • a
    $1$
  • b
    $2$
  • c
    $3$
  • d
    $4$
设$x_1alpha_1+x_2alpha_2+x_3alpha_3=alpha_4$,则根据题意:已知$alpha_4$可以表为$alpha_1,alpha_2,alpha_3$,的线性组合,且表示法惟一,对于一个非齐次线性方程组,则必须满足:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩=未知数的个数,而增广矩阵的秩就是向量组的秩。
1.63 1.25
设有二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+x_3^2$,则$f(x_1,x_2,x_3)$()
您答对了
  • a
    正定
  • b
    负定
  • c
    不定
  • d
    半正定
由$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+x_3^2$,知该二次型的正惯性指数$>0$,负惯性指数$>0$,故它不定。
1.64 1.25
设$alpha_1=(2,1,0),alpha_2=(0,0,0)$,则()
您答对了
  • a
    $alpha_2$线性无关
  • b
    $alpha_1$线性无关
  • c
    $alpha_1$,$alpha_2$线性无关
  • d
    $alpha_1$线性相关
因为$alpha_(1)=(2,1,0)!=(0,0,0)$,所以$alpha_(1)$线性无关。
1.65 1.25
设$AX=0$是方程组$AX=b$的导出组,则()
您答对了
  • a
    $AX=0$只有零解时,$AX=b$有唯一解
  • b
    $AX=0$有非零解时,$AX=b$有无穷多解
  • c
    $AX=0$有非零解时,$A^TX=0$也有非零解
  • d
    $AX=b$有唯一解时,$AX=0$只有零解
$AX=b$有唯一解$<=>A$为满秩矩阵$<=>AX=0$只有零解。
1.66 1.25
已知某个$3$元非齐次线性方程组$Ax=b$的增广矩阵$barA$经初等行变换化为:$barA->((1,-2,3,-1),(0,2,-1,2),(0,0,a(a-1),a-1))$,若方程组无解,则$a$的取值为()
您答对了
  • a
    $0$
  • b
    $1$
  • c
    $2$
  • d
    $3$
只有当$r(A)=2!=r(barA)=3$时,方程组无解,故要求$a(a-1)=0,a-1!=0$,解得$a=0$.
1.67 1.25
设$beta$可由向量$alpha_1=(1,0,0),alpha_2=(0,0,1)$线性表示,则下列向量中$beta$只能是()
您答对了
  • a
    $(2,1,1)$
  • b
    $(-3,0,2)$
  • c
    $(1,1,0)$
  • d
    $(0,-1,0)$
因为$beta$可由向量$alpha_1=(1,0,0),alpha_2=(0,0,1)$线性表示,则$beta$的第二个分量必为$0$,故只可能为B。
1.68 1.25
设$A,B$为同阶方阵,下列等式中恒正确的是()
您答对了
  • a
    $AB=BA$
  • b
    $(A+B)^(-1)=A^(-1)+B^(-1)$
  • c
    $|A+B|=|A|+|B|$
  • d
    $(A+B)^T=A^T+B^T$
乘法没有交换律。$A,B$都可逆,$A+B$不一定可逆,如$A=E,B=-E$;$|A+B|=|A|+|B|$不一定成立,如$A=B=E_3$,则$A+B=2E$,故$|A+B|=|2E|=2^3|E|=8!=|A|+|B|=2$
1.69 1.25
设$A$为$3$阶方阵,且$|-(1)/(3)A|=(1)/(3)$,则$|A|=$()
您答对了
  • a
    $-9$
  • b
    $-3$
  • c
    $-1$
  • d
    $9$
测试点:矩阵运算和行列式的性质 特别是,对$n$阶方阵$A$和数$lambda$,总有$|lambdaA|=lambda^n|A|$。因为$|-(1)/(3)A|=(-(1)/(3))^3|A|=-(1)/(27)|A|$,又$|-(1)/(3)A|=(1)/(3)$,故$|A|=(1)/(3)(-27)=-9$
1.70 1.25
设$A$为$3$阶方阵,且已知$|-2A|=2$,则$|A|$=()
您答对了
  • a
    $-1$
  • b
    $-(1)/(4)$
  • c
    $(1)/(4)$
  • d
    $1$
$n$阶方阵的行列式性质有$|kA_n|=k^n|A_n|$。由$A$是$3$阶方阵,可知$|-2A|=(-2)^3|A|=-8|A|=2$,所以$|A|=-(1)/(4)$。
1.71 1.25
设$m×n$矩阵$A$的秩$r(A)=n-3(n>3)$,$alpha,beta,gamma$是齐次线性方程组 $Ax=0$的三个线性无关的解向量,则方程组的$Ax=0$基础解系为()
您答对了
  • a
    $alpha,beta,alpha+beta$
  • b
    $beta,gamma,gamma-beta$
  • c
    $alpha-beta,beta-gamma,gamma-alpha$
  • d
    $alpha,alpha+beta,alpha+beta+gamma$
显然A,B,C选项中的三个向量都是线性相关的,而齐次方程组的基础解系应由线性无关的向量组组成,故答案只能为D。
1.72 1.25
向量组$alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$的秩不为$s(s>=2)$的充分必要条件是()
您答对了
  • a
    $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$全是非零向量
  • b
    $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$全是零向量
  • c
    $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中至少有一个向量可由其他向量线性表出
  • d
    $alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中至少有一个零向量
秩与向量组线性相关性的关系;向量组线性相关的充分必要条件。
1.73 1.25
若$3$阶实对称矩阵$A=(a_(ij))$是正定矩阵,则$A$的正惯性指数为()
您答对了
  • a
    $0$
  • b
    $1$
  • c
    $2$
  • d
    $3$
$n$阶实对称矩阵$A=(a_(ij))$是正定矩阵$<=>A$的正惯性指数为$n$.
1.74 1.25
设向量组$alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4$线性相关,则向量组中()
您答对了
  • a
    必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
  • b
    必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
  • c
    必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
  • d
    每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
向量组线性相关则必有一个向量可以表为其余向量的线性组合。
1.75 1.25
$3$阶行列式$|a_(ij)|=|(0,-1,1),(1,0,-1),(-1,1,0)|$中元素$a_21$的代数余子式$A_21=$()
您答对了
  • a
    $-2$
  • b
    $-1$
  • c
    $1$
  • d
    $2$
考点:代数余子式。$A_21=(-1)^(1+2)xx|(-1,1),(1,0)|=1$
1.76 1.25
已知$lambda=0$为矩阵$A=((0,-2,-2),(2,2,-2),(-2,-2,2))$的2重特征值,则$A$的另一特征值为()
您答对了
  • a
    $1$
  • b
    $2$
  • c
    $3$
  • d
    $4$
因为$lambda=0$为矩阵$A=((0,-2,-2),(2,2,-2),(-2,-2,2))$的2重特征值,即$lambda_1=lambda_2=0$,又$lambda_1+lambda_2+lambda_3=0+2+2=4$,故$A$的另一特征值$lambda_3=4$。
1.77 1.25
线性方程组${(x+y+z=0,),(2x-5y-3z=10,),(4x+8y+2z=4,):}$的解为()
您答对了
  • a
    $x=2,y=0,z=-2$
  • b
    $x=-2,y=2,z=0$
  • c
    $x=0,y=2,z=-2$
  • d
    $x=1,y=0,z=-1$
法一:代入验证。 法二:$([1,1,1,0],[2,5,-3,10],[4,8,2,4])->([1,1,1,0],[0,3,-5,10],[0,4,-2,4])->([1,1,1,0],[0,1,-5/3,10/3],[0,1,-1/2,1])->([1,1,1,0],[0,0,-7/6,7/3],[0,1,-1/2,1])->([1,1,1,0],[0,0,1,-2],[0,1,-1/2,1])->([1,1,1,0],[0,0,1,-2],[0,1,0,0])->([1,0,0,2],[0,0,1,-2],[0,1,0,0])$
1.78 1.25
若向量组$alpha_1,alpha_2,alpha_3$线性无关,向量组$alpha_1,alpha_2,alpha_4$线性相关,则()成立。
您答对了
  • a
    $alpha_1$必可由$alpha_2,alpha_3,alpha_4$线性表出
  • b
    $alpha_2$必可由$alpha_1,alpha_3,alpha_4$线性表出
  • c
    $alpha_4$必可由$alpha_1,alpha_2,alpha_3$线性表出
  • d
    $alpha_4$必不可由$alpha_1,alpha_2,alpha_3$线性表出
向量组$alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)$线性无关,则向量组$alpha_(1),alpha_(2)$线性无关,又向量组$alpha_(1),alpha_(2),alpha_(4)$线性相关,所以$alpha_(4)$必可由$alpha_(1),alpha_(2)$线性表出,则$alpha_(4)$必可由$alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)$线性表出。
1.79 1.25
设矩阵$A=((0,0,1),(0,1,0),(1,0,0))$,则$A$的特征值为()
您答对了
  • a
    $1,1,0$
  • b
    $-1,1,1$
  • c
    $1,1,1$
  • d
    $1,-1,-1$
$|lambdaE-A|=|(lambda,0,-1),(0,lambda-1,0),(-1,0,lambda)|=(lambda-1)(lambda^2-1)=(lambda+1)(lambda-1)^2$,故$A$的特征值为$-1,1,1$。
1.80 1.25
设实对称矩阵$A=((2,0,0),(0,-4,2),(0,2,-1))$,则$3$元二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x^TAx$的规范形为()
您答对了
  • a
    $Z_1^2+Z_2^2+Z_3^2$
  • b
    $Z_1^2+Z_2^2-Z_3^2$
  • c
    $Z_1^2+Z_2^2$
  • d
    $Z_1^2-Z_2^2$
求出二次型矩阵的特征值 $|lambdaE-A|=|(lambda-2,0,0),(0,lambda+4,-2),(0,-2,lambda+1)|=(lambda-2)((lambda+4)(lambda+1)-4)=lambda(lambda+5)(lambda-2)$ 所以$A$的特征值为$0,2,-5$ 则原二次型的标准形为$2x_1^2-5x_2^2$ 令$Z_(1)=sqrt(2)x_(1),Z_(2)=sqrt(5)x_(2)$得规范形$Z_(1)^(2)-Z_(2)^(2)$.



答案:
2)^T+k_2(1
$P_1P_2A=B$
$A$的列向量组线性相关
$k=0$或$alpha=0$至少有一个成立
$alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
$A$的$n$个列向量线性无关
若$alpha_1,alpha_2$线性无关,则必有$beta_1,beta_2$线性无关
$1$
$((1,-1,0),(-1,2,-1),(0,-1,1))$
$-2$
$t为任意实数$
$alpha_1,alpha_2,alpha_4$
$((-1,0),(-2,4))$
$1/12$
$A$的列向量组线性相关
$ABC$
$eta_1+eta_2$是$AX=b$的一个解
等于$n$
$alpha-beta$线性无关
$((1,0),(-2,-1))$
$-4$
$alpha+beta$线性无关
$alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中任意一个向量均不能由其余$s-1$个向量线性表示
$2$
$C^TB^TA^T$
$alpha_1,…,alpha_5$的秩$ <= 3$
齐次线性方程组$AX=0$只有零解
$2$
$6$
$((6,0,0),(0,6,0),(0,0,6))$
$A$的秩等于$n$
$-2E-A$
$|A|^2=|B|^2$
$CA$
$alpha_1$可由$alpha_2,alpha_3,beta$线性表示
$1/4$
$((1,1,1),(0,1,1),(0,0,0))$
若$alpha_1,alpha_2$线性相关,则$alpha_1+alpha_2,alpha_1-alpha_2$也线性相关
$-1$
充分条件
$8$
$((1,0,0),(0,2,0),(0,0,1))$
方程组有无穷多解
$1/2(beta_1+beta_2)+C_1alpha_1+C_2(alpha_1+alpha_2)$
$-1$
$(-5)^n|A|$
$3$
$6$
$alpha_1,alpha_2,alpha_3$线性相关
$AX=0$必有无穷多解
$alpha_1,…,alpha_6$中至少有两个向量能由其余向量线性表出
$lambdaE-A=lambdaE-B$
$-2/3$
$2$
$a=3,b=-1,c=0,d=3$
$2$
可能有解,也可能无解
$108$
$36$
行向量组线性相关
$((1,1,2),(1,1,0),(2,0,1))$
$3$
不定
$alpha_1$线性无关
$AX=b$有唯一解时,$AX=0$只有零解
$0$
$(-3,0,2)$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$-9$
$-(1)/(4)$
$alpha,alpha+beta,alpha+beta+gamma$
$alpha_1,alpha_2,…,alpha_s$中至少有一个向量可由其他向量线性表出
$3$
必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
$1$
$4$
$x=2,y=0,z=-2$
$alpha_4$必可由$alpha_1,alpha_2,alpha_3$线性表出
$-1,1,1$
$Z_1^2-Z_2^2$



(责任编辑:何老师)

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